Analyyttinen geometria


Jana

pituus d=\sqrt{{\left({x}_{2}-{x}_{1} \right)}^{2}+{\left({y}_{2}-{y}_{1} \right)}^{2}}
keskipiste M=\left(\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2},\: \frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2} \right)
 
jakopiste P=\left(\frac{p{x}_{1}+q{x}_{2}}{p+q},\: \frac{p{y}_{1}+q{y}_{2}}{p+q} \right)
 

 

Suora

suuntakulma \tiny \alpha \in ]{-90}^{o},\: +{90}^{o}]
  
suuntavektori\tiny \bar{s}={s}_{x}\bar{i}+{s}_{y}\bar{j} tai \tiny \bar{s}=i+k\bar{j}
Kulmakerroin \tiny k=tan\: \alpha =\frac{{s}_{y}}{{s}_{x}}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}
k > 0⇔suora nouseva
k < 0⇔suora laskeva
k = 0⇔suora x-akselin suuntainen
ei k: ta⇔suora y-akselin suuntainen
Yhdensuuntaisuus ehto \tiny {s}_{1}\parallel {s}_{2}\Leftrightarrow {k}_{1}={k}_{2}
tai suorat ovat y-akselin suuntaiset 
Kohtisuoruusehto\tiny {s}_{1}\perp {s}_{2}\Leftrightarrow {k}_{1}\cdot {k}_{2}=-1
tai toinen suora on x-akselin suuntainen, toinen y-akselin suuntainen
Suorien välinen kulma \tiny \phi \in \left[{0}^{o},\: {90}^{o} \right]
\tiny tan\: \phi=\left|\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}} \right|,\: cos\: \phi=\frac{\left|{\bar{s}}_{1}\cdot {\bar{s}}_{2} \right|}{\left|{\bar{s}}_{1} \right|\left|{\bar{s}}_{2} \right|}=\frac{\left|{\bar{n}}_{1}\cdot {\bar{n}}_{2} \right|}{\left|{\bar{n}}_{1} \right|\left|{\bar{n}}_{2} \right|}
Yhtälötyypit
1. Pisteen (x0, y0) kautta kulkeva
y – y0 = k (x – x0)
2. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) kautta
kulkeva
\tiny y-{y}_{1}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}\left(x-{x}_{1} \right)
3. x-akselin suuntainen y = t
4. y-akselin suuntainen x = u
5. Akselit pisteissä (u, 0) ja (0, t)
leikkaava
t\tiny \frac{x}{u}+\frac{y}{t}=1
6. normaalimuoto ax + by + c = 0
normaalivektori    \tiny \bar{n}=a\bar{i}+b\bar{j}
suuntavektori        \tiny \bar{s}=b\bar{i}-a\bar{j}kulmakerroin        \tiny k=-\frac{a}{b}

Pisteen etäisyys suorasta		d=\frac{\left|a{x}_{0}+b{y}_{0}+c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}

 

Ympyrä

Origokeskinenx2 + y2 = r2 
Parametrimuoto 
Keskipiste (x0, y0)(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 
Normaalimuotox2 + y2 + ax + by + c = 0

 

Ellipsi

OrigokeskinenParametrimuotoKeskipiste (x0, y0)
 \tiny \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1  \tiny \frac{{\left(x-{x}_{0} \right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-{y}_{0} \right)}^{2}}{{b}^{2}}=1
 puoliakselit
isoakseli
pikkuakseli		a ja b
2a
2b		 

 

Paraabeli

akseli
y-akselinsuuntainen		akseli
x-akselin suuntainen
huippu origossay = ax2x = ay2
a > 0
a < 0
huippu (x0, y0)y – y0 = a (x – x0)2x -x0 = a (y – y0)2
a > 0
a < 0
normaalimuotoy = ax2 + bx + cx = ay2 + by + c

 

Hyperbeli

 \tiny \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \tiny \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=-1
Hyperbeli asymptootitpoikittaisakseli
2a
liittoakseli
2b
asymptootit
\tiny y=\pm \frac{b}{a}x		Liitto-hyperbeli liitto-hyperbeli
 xy = C xy = C ( C < 0)
  asymptootteina
koordinaattiakselit